soient \(\displaystyle\sum_{i\geqslant0}a_i\) et \(\displaystyle\sum_{j\geqslant0}b_j\) deux séries
On appelle série de Cauchy ou produit de Cauchy la série \(\displaystyle\sum_{k\geqslant0}c_k\), où $$c_k={{\sum^k_{i=0}a_ib_{k-1} }}={{\sum_{i+j=k}a_ib_j}}$$
Théorème :
Si les séries \(\sum^{+\infty}_{i=0}a_i\) et \(\sum^{+\infty}_{j=0}b_j\) de nbres complexes sont absolument convergentes, alors la série $$\sum^{+\infty}_{k=0}c_k={{\sum^{+\infty}_{k=0}\left(\sum^{+\infty}_{i=0}a_ib_{k-1}\right)}}$$est absolument convergente, et on a : $$\sum^{+\infty}_{k=0}c={{\left(\sum^{+\infty}_{i=0}a_i\right)\times\left(\sum^{+\infty}_{j=0}b_j\right)}}$$
(Série absolument convergente)